Ohm의 법칙을 미시적 관점에서 유도해보자

1. 조사 주제 : Ohm의 법칙에 대한 고전 역학적 분석(미시적 해석)을 새로운 방식으로 유도해보기

2. 주제 관련 일반물리학 교재 내용 : Halliday pg179- Ohm의 법칙에 대한 미시적 관점 – 전자를 단일 유효 속력을 가지는 입자로 가정한뒤, 뉴턴법칙을 적용하여 충돌간 평균 시간 동안 얻게 되는 유동속력을 구한다. 그 뒤에 전류 밀도 식에 방금 구한 유동속력을 대입하여 비저항을 구해냈다.

3. 주제 선택 이유 : 책에서는 옴의 법칙을 미시적 관점에서 보여주기 보다는 옴의 법칙이 적용된다는 가정 아래에서 비저항의 크기를 유도해내었을 뿐이다. 고로 나는 여기서 더 나아가 전자가 충격력을 받아서 정상상태에 도달하는 것을 이용하여 전기장과 전류밀도는 언제나 방향이 같고 크기 비가 일정한 관계를 가진다는 것을 유도해내고자 했다.

4. 조사 내용 : Halliday pg164 (한글판 기준) “전지를 연결하자 마자 전자의 흐름은 곧바로 일정한 값이 되고, 전류의 크기가 시간에 따라 변하지 않는 정상상태에 도달한다.”라는 구절을 보고, 전자가 전기장 내에 계속 존재하는데, 끊임 없이 가속되는 것이 아니라 일정한 속도로 남는 이유가 무엇일까?라는 고민을 하던 중 전자가 핵/분자와 충돌하면서 받는 충격력이 있다는 아이디어를 내게 되었다. 이를 수식적으로 표현해보기 위해 다음을 정의한다.

• 전자의 핵과의 충돌로 변하는 운동량을 𝑑𝑝라고 하자.
• 전자가 한번 충돌 후 다음 충돌까지 걸리는 시간을 𝜏라고 하자.
• 전자의 전하량을 𝑞, 전자가 들어있는 전기장의 크기를 |𝐸 ⃗|=𝐸, 전자의 도체 내 총 수를 𝑁이라 하자.
• 1/𝜏= 단위시간동 충돌 수, 𝑁/𝜏=단위 시간당 총 충돌 수, 𝑁/𝜏 𝑝=단위 시간당 총 운동량의 변화, 𝑝/𝜏= 단위 시간 당 하나의 입자가 평균적으로 변하는 운동량
• 이때, 입자가 받는 총 힘은 전기장이 주는 힘 𝑞𝐸, 그리고 충돌에 의한 평균 운동량의 변화 𝑝/𝜏가 있다. (운동량/시간의 차원은 힘임을 상기하자)

이때, 𝐹_𝑛𝑒𝑡=𝑑𝑝/𝑑𝑡=𝑞𝐸−𝑝/𝜏 라는 미분방정식 도출 가능

이 미분 방정식을 풀면 𝑝(𝑡)=𝜏𝑞𝐸−𝜏𝑞𝐸𝑒^(−𝑡/𝜏) 꼴이 나온다.

𝑡→∞에서 𝑝→𝑞𝐸𝜏, 그래프를 보면 흡사 종단속도가 연상된다.

Halliday pg164 (한글판 기준) “전지를 연결하자 마자 전자의 흐름은 곧바로 일정한 값이 되고, 전류의 크기가 시간에 따라 변하지 않는 정상상태에 도달한다.”라는 문장과도 잘 부합한다!

즉, 전지를 연결하자 마자(∵𝜏가 매우 작다) 전자의 흐름은 저항에 의해 방해를 받고, 방해의 크기는 점점 커져 전자의 속도를 종단속도 𝑣=𝑞𝐸𝜏/𝑚 에 도달하도록 한다.

지오지브라로 그려본 앞서 유도한 식에서 시간에 따른 전자 속도, 시간이 무한대로 가자 종단속도에 전자들이 도달하는 것이 보인다.

미분방정식은 아래의 과정으로 풀었다.

𝑑𝑝/𝑑𝑡=𝑞𝐸−𝑝/𝜏

𝑑𝑝/(𝑝−𝜏𝑞𝐸)=−𝑑𝑡/𝜏

ln⁡(𝑝−𝜏𝑞𝐸)=−𝑡/𝜏+𝐶_1

𝑝=𝜏𝑞𝐸−𝐶𝑒^(−𝑡/𝜏)

By 𝑝(0)=0, 𝐶=𝜏𝑞𝐸

𝑝=𝜏𝑞𝐸(1−𝑒^(−𝑡/𝜏))

자세한 분석은 5번에서 진행하겠다.

5. 이번 유도과정이 주는 깨달음

𝑣=𝑣_𝑑=𝑞𝐸𝜏/𝑚=𝐽/𝑛𝑞

𝐸=(𝑚/(𝑛𝑞^2 𝜏))𝐽

여기까지 유도한 나는, 𝑚/(𝑛𝑞^2 𝜏)의 값이 E나 J에 무관하게 항상 일정하며, 이 값은 전자가 전기장의 역방향으로 받는 힘과 관련이 있음을 알 수 있었다. (옴의 법칙에 대해 정확히 공부해 보았다면 분명 이 문장이 익숙할 것이다)

이때, 𝑚/(𝑛𝑞^2 𝜏)를 비저항으로 정의한 이유 또한 느낄수 있었다. (과학자들은 항상 일정하게 유지되는 값들에 이름 붙이는걸 좋아하더라)

정리하자면, 나는 전자가 전기 퍼텐셜 변화에 들어 있을 때 어떤 운동을 하는지를 알아보았고, 그 결과는

“벡터장 E가 어떤 방향으로 잡히든 그 방향과 같은 방향, 그리고 크기는 𝜎배인 벡터장 J가 잡힌다”라는 것이었다.

나는 이것이 사실상 (미시적) 옴의 법칙의 본질이라고 느꼈다.