일반상대성개론 0편

일반상대성이론과 중력의 연관성은 어느 정도 알고 있었지만, 자세히 공부해 본 적이 없어 이번 기회에 공부해 보기로 하였다. 이론의 이해를 위한 텐서 등의 개념은 아직 따로 공부해 보고 있기에 공부를 마저 마치고 올리도록 하겠다.

아인슈타인은 뉴턴 역학과 고전전자기학의 멕스웰 방정식을 통합하려는 시도를 하는 과정에서 특수 상대성이론을 세운다. 특수상대성이론의 중요한 가정인 광속 불변을 가정하면서 상대운동에 따라 새로운 좌표계를 설정하는 아이디어가 생겼다. 아무튼 이는 우리의 관심사가 아니니 각설하고, 특수상대성이론의 한계는 기본적으로 등속운동을 하는 물체에 대해서만 적용된다는 것이다. 찾아본 자료에서는 조석효과나 수성 궤도의 오차 등의 현상을 예시로 들지만, 개인적으로 일반상대성이론을 이러한 효과에 한정짓는 것은 뉴턴의 만유인력 법칙을 사과에 연관짓는 것 같은 생각이 든다. 이러한 현상에 집중 하지 않아도 기존의 이론과 등속운동에 한정하여 부합하는 법칙을 세웠다면, 일반적인 운동에 대해 기술하고 싶은 것은 자연스럽다고 생각한다. 여하튼, 아인슈타인은 가속 운동, 범위를 좁히자면 만유인력 법칙에 잘 부합하는 이론을 개발하고자 하였고 그 결과를 일반상대성이론이라 할 수 있겠다.

아인슈타인이 어떤 과정을 거쳐 일반 상대성 이론에 도달했는지는 잘 모르겠으나, 나름대로 전개를 갖추어 설명을 해보겠다. 우선 자유낙하 중인 관찰자에 대한 사고실험으로 시작한다. 자유낙하 중인 관찰자는 자신의 운동을 비교할 대상이 없기에 자신이 자유낙하 중인지 혹은 무중량 상태인지 구분할 길이 없다. 다르게 생각해보면 중력의 효과를 가속을 통해서 만들어 낼수도 있다. 가속 운동하는 좌표계 내의 관찰자는 특정한 물리 현상에 대해서 그 물리 현상이 중력의 영향을 받은 것인지, 혹은 좌표계의 가속 운동의 영향을 받은 것인지 구분할 수 없다. 뉴턴 역학의 경우 방금 말한 ‘좌표계의 가속 운동의 영향’을 ‘관성력’이라는 개념의 도입으로 해석하지만, 아인슈타인의 경우는 관성력을 도입하는 것이 아니라 ‘애초에 중력과 가속 운동은 동일한 운동이다.’라고 해석한 데에 차이가 있다.

그런데, 이 등가원리는 사실상 ‘관성질량’과 ‘중력질량’은 같다고 말하는 것과 같다고 이해했다. 우리는 체중계에 찍힌 몸무게를 보면서 “아 내 질량은 몇 kg이구나”라고 흔히 생각하지만 사실상 이 둘은 전혀 같을 필요가 없는 개념이기에 가정할 뿐이다. 왜일까? 관성 질량은 내가 어떤 힘을 가했을 때 얼마만큼 움직이더라 하는 비례관계의 개념이며, 관성의 측도를 질량으로 정의한 것이다. 이는 뉴턴 제 2법칙과도 잘 부합한다. 반면에 중력 질량은 질량을 만유인력의 원천으로 정의하며, “이러한 질량을 가진 물체 주변에는 이 만큼의 중력장이 생깁니다“라고 말하는 개념이다. 둘은 원천적으로 다를 필요가 없음에도 우리는 둘을 혼동하는 오류를 흔히 범하곤 한다. 물론 실험적으로 둘은 굉장히 같은 값을 가지지만, 아직 그 이유는 밝혀지지 않았다. 일반상대성이론은 관성질량과 중력질량의 동일성을 증명하는 이론이 아닌, 오히려 동일성을 가정하고 세워진 이론이다. 이 가정의 다른 이름이 등가원리인 것이고. 참고로 관성과 중력의 연관성을 규명하고자 하는 끈 이론과 양자중력은 활발히 연구중이라고 한다. 

아직까지 이 가정은 큰 문제가 없어 보인다. 하지만 중력의 도입을 통해 이 가설은 문제가 발생한다. 앞서 조석효과를 일반상대성이론과 연관짓는 것을 비판하긴 했지만, 비유 자체는 좋은 관계로 조석효과를 사용해서 등가원리의 문제를 설명해보겠다. 

옆의 그림을 생각해보자. 두 개의 물체가 지구를 향해, 혹은 지구의 질량중심을 향해 나란히 떨어지고 있다. 그런데, 과연 둘은 나란히 떨어지고 있다고 할 수 있을까? 나란히 떨어지는 두 물체는 뉴턴 역학은 물론 특수상대성이론에서도 만날 일이 없다. 그런데, 두 물체는 분명하게 지구 중심을 향해 다가가는 동시에 서로에게 가까워지고 있다. 뉴턴 역학의 관점에서야 두 물체가 각각 지구와 만유인력을 받아 가까워지는 것이기에 두 물체가 가까워지는 것이 문제가 되지 않는다. 그렇다면, 등가원리를 적용했을 때도 문제가 없을까? 등가원리를 적용하는 순간 각 물체는 자신의 관성계에서 무중량 상태와 자유낙하를 구분하지 못한다. 즉, 각 물체의 입장에서는 자신이 어떤 힘을 받고 있다는 사실을 인지하지 못하고 그저 떨어질 뿐이다. 그런데, 생각해보라. 물체의 입장에서는 아무런 힘도 받고 있지 않은 데, 다른 물체와 점점 거리가 가까워지니 이상할 따름이다. 중력과 관성을 등가로 가정한 순간 이 모순은 풀기가 어려워진다. 그렇다면 아인슈타인은 어떻게 해결해 낸 것일까? 아인슈타인은 물론 더 심도 깊은 수학적 고찰을 했겠지만, 나는 이렇게 이해 했다. 

그림에서 초록선을 따라 움직이는 두 물체를 생각해보자. 각 물체는 초록선을 따라서 ‘나란히‘ 움직이지만, 결국 극점에서 만나게 된다. 나는 이처럼 공간 자체가 비유클리드 공간 (곡률을 가진 공간)으로 휘어버리면 자신의 관성계에서 직선형 운동을 하는 입자들도 만날 수 있게 되며 앞서 말한 모순이 해소된다고 이해했다. 아인슈타인 또한 1912년, 비유클리드 공간에서의 유추에 영감을 받아 기하학에 자신의 이론을 접목시키고자 많은 수학자를 만났다고 한다. 

아인슈타인은 초기에 가속운동하는 입자에 대해 자신의 이론을 확장 시키기 위해서 미소 시간으로 쪼갠뒤 등속운동을 가정했다고 한다. 등속 운동 상에서는 자신의 기존 이론인 특수 상대성 이론을 접목시킬 수 있기에 타당한 접근이다. 이때, 미소시간에 대해서 로런츠 변환을 접목시키면, 자연스럽게 각 지점에 대해서 다른 속도가 만드는 다른 로런츠 변환을 시켜야 함을 느낄 수 있다. 이는 각 지점에 대해 다른 변환을 제공하는 텐서의 개념으로 넘어가게 된다. 동시에 좌표축 전체에 변환을 접목시키는 선형변환으로는 접근에 한계가 있음을 알 수 있다. 이는 각 지점에 대해 새로운 변환을 주는 curvelinear한 접근이 필요하다는 것을 알려준다.

이 말인 즉슨, 가속운동하는 물체는 시공간이 곡면의 형태로 휘어진 것과 동치이라는 뜻이다. 가속 운동은 앞서 말한 등가원리에 의해 중력과도 동치이므로 중력이 곡면의 휘어짐을 만든다는 것을 알 수 있다.

이에 아인슈타인은 리만곡률텐서와 아인슈타인 텐서G를 정의하여 시공간의 휘어짐과 질량의 관계를 수식화했다. 이는 아인슈타인 방정식으로 불리며, 와 같이 나타난다. 이때 G는 곡률을 측정하는 텐서, T는 물질(질량과 에너지는 등가이기에 질량 뿐 아니라 물질의 여러 특성이 중력의 요인이 될 수 있다)을 측정하는 텐서이다. 이 방정식의 해는 여러 시공간 기하를 기술한다고 한다.